Алексей Лукич родился в деревне Чёрная Грязь Малоярославецкого уезда Калужской губернии (ныне деревня Жуковского района Калужской области) в семье служащего. В строевых частях Красного Воздушного флота А. Л. Приказчиков с 1939 года. Служил в 8-м истребительном авиационном полку в Забайкальском военном округе. На фронте Отечественной войны с 18 июля 1941 года занимал должность заместителя командира эскадрильи до октября 1942 года. С октября 1942 года занял должность командира эскадрильи. Исключительно грамотный, Алексей Приказчиков умел передать свой боевой опыт личному составу. Скромный, дисциплинированный командир. За период боевой работы Гвардии капитан лично имеет: боевых вылетов – 277, с боевым налетом – 249 часов, из них на боевую разведку – 40 полетов, на сопровождение штурмовиков – 120 полетов, прикрытие своих войск – 47 полетов, на перехват воздушного противника – 10 полетов, прочих вылетов – 54/прикрытие аэродромов и объектов. Провел 43 воздушных боя, в которых лично сбил 6 самолетов противника, в группе — 12 самолетов противника. Провел 109 успешных штурмовых вылетов, уничтожил 4 танка, 97 автомашин, 2 бензоцистерны, 8 зенитных точек, 29 повозок, 57 лошадей и 317 солдат и офицеров. В группе уничтожил на земле 5 самолетов противника. С апреля 1943 года в небе над Кубанью развернулась ожесточённая битва. В воздушных сражениях капитан А.Л. Приказчиков действовал умело и решительно, нередко вступая в бой со значительно превосходящими силами противника. Так, 15 апреля 1943 года четвёрка «Як-1» под командованием Приказчикова вступила в бой с 12 немецкими бомбардировщиками Ю-88. Лётчики сбили 4 вражеских бомбардировщика, вынудив остальных бежать с поля боя. 8 мая 1943 года группа из восьми «Яков» под командованием гвардии капитана А. Л. Приказчикова атаковала 30 вражеских штурмовиков Не-111, следовавших под прикрытием 12 истребителей Ме-109. В ожесточённом бою советские лётчики сбили и повредили 16 немецких самолётов, потеряв только один «Як». В сентябре 1943 года Алексею Лукичу было присвоено звание гвардии майора. В начале сентября 1943 года 42-й гвардейский истребительный авиационный полк был передан в состав 229-й истребительной авиационной дивизии и включился в Новороссийско-Таманскую операцию. 25 сентября 1943 года командир полка поставил перед эскадрильей гвардии майора А. Л. Приказчикова задачу произвести воздушную разведку Голубой линии на участке Темрюк — Голубицкая с целью обнаружения замаскированных немецких танков. Алексей Лукич решил лично повести четвёрку «Яков» на выполнение поставленной боевой задачи. При ведении разведки в районе Темрюка пара истребителей прикрытия была отвлечена сильным зенитным огнём противника и отдалилась от пары гвардии майора А.Л. Приказчикова и гвардии младшего лейтенанта А. С. Гусака, которые вели разведку. Занятые визуальным осмотром земли, лётчики-разведчики не заметили атаку немецких истребителей. Самолёт А.С. Гусака врезался в землю на окраине Темрюка, а «Як-1» Алексея Приказчикова упал в Курчанский лиман. Утром 27 сентября 1943 года Темрюк был освобождён советскими войсками. Тела лётчиков были обнаружены и захоронены в братской могиле советских воинов, погибших при освобождении города Темрюка.