Александр Иванович Жестков родился 28 августа 1918 года в деревне Ляпино Гжатского уезда Смоленской губернии в семье рабочего. Окончил неполную среднюю школу. Работал слесарем на заводе. Член ВКП(б)/КПСС с 1942 года.
В 1938 году был призван в армию.
Окончил Ейское военно-морское авиационное училище.
С июня 1941 года участник Великой отечественной войны.
Воевал на Балтике. В сентябре 1941 года был переведён на Черноморский флот.
К маю 1944 года командир звена 5-го гвардейского минно-торпедного авиационного полка гвардии старший лейтенант Александр Жестков совершил 161 боевой вылет — уничтожил десять транспортов, сторожевой корабль, танкер, пять барж, десять танков, сжёг два самолёта на земле, а также уничтожил множество солдат противника.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 5 ноября 1944 года за мужество и героизм, проявленные в воздушных боях с немецко-фашистскими захватчиками гвардии старшему лейтенанту Александру Ивановичу Жесткову присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
В 1945 году окончил Высшие офицерские курсы ВВС Военно-морского флота.
В 1954 году окончил Военно-воздушную академию.
Принимал участие в испытании ядерного оружия на Новоземелськом полигоне.
В запасе с 1971 года.
Жил в Москве. Умер 21 июля 2002 года. Похоронен на Троекуровском кладбище в Москве.