В 1985 г. закончил интернатуру по хирургии и был направлен врачом-хирургом в медицинскую роту 191 Краснознаменного отдельного горно-стрелкового полка в Республику Афганистан. С 1986 г. по 1988 г. участвовал в медицинском обеспечении боевых действий, как в составе полка и гарнизона, так и в составе армейской группировки. За два года войны Дрога Александр Владимирович провел 511 операций различных категорий сложности в стационарных и еще 270 – в полевых условиях, благодаря его таланту врача и умелым оперативным действиям было спасено множество жизней наших воинов. Александр Владимирович участвуя в боевых операциях, спасал жизни не только, как медик вынося из под обстрела раненых и контуженых солдат оказывая экстренную помощь, ему часто приходилось исполнять приказы и руководить действиями подчиненных в бою.
Однажды попав в засаду, Александр Владимирович при выполнении боевой задачи получил контузию и баротравму, но нашел в себе силы оставаться в строю и продолжить участие в операции наравне со всеми. За период службы в Афганистане награжден орденом «Красная Звезда», орденом «За Службу в ВС СССР» 3 ст., медалями «За Отвагу», «За Боевые заслуги», «От благодарного Афганского народа», «Воину-интернационалисту», нагрудными знаками Туркестанского ВО «За самоотверженный ратный труд», ЦК ВЛКСМ «За Воинскую доблесть». После окончания курсов усовершенствования при Военно-медицинской академии проходил службу на хирургических должностях в Северной группе войск.
По сокращению группы войск был направлен в Северо-Кавказский ВО, проходил службу в военном госпитале г.Краснодара, где исполнял обязанности старшего ординатора травматологического и хирургического отделений. В 1993 г. по сокращению из ВС поступил на службу в МВД и принят на должность начальника Межреспубликанской соматической больницы ( пенициарная система МВД) и хирургом в хирургическое отделение. В 1995 г. переведен на должность заместителя начальника больницы — начальник отделения экстренной медицинской помощи (в последующем госпиталь МВД для личного состава).
Осуществлял мед. обеспечение и оказание квалифицированной помощи сотрудникам МВД и военнослужащим ВВ в Чечне 1996-1997, 1999-2001 годах. За службу в Чеченской Республике награжден медалями ордена «За заслуги перед Отечеством» 1 и 2 степени, «За отличие в охране общественного порядка», а также нагрудными знаками «За верность долгу», «За отличную службу в МВД», «За отличную службу в ВВ МВД» 1 и 2 степени. «200 лет МВД». В 2002 г. вышел на пенсию. С декабря 2002г. работает в ТФОМС КК. В должности врач-эксперт.